日前，北京理工大学物理学院张向东教授课题组，在拓扑电路研究方面取得重要进展。他们设计并制备出了一种新型空时电路，被称作“拓扑空时电路”，相关工作以“Topolectrical space-time circuits”为题发表在Nature Communications上[Nat. Commun. 16, 198 (2025)]。北京理工大学物理学院张蔚暄研究员和博士生曹汶慧、钱龙为论文的共同第一作者，张向东教授为通讯作者。研究工作得到国家重点研发计划和国家自然科学基金的资助。
周期性含时驱动是一种调控量子和经典系统的强有力手段，为突破传统静态系统的物理限制并实现新奇拓扑物态提供了全新的契机。近年来，研究人员在各种时变系统中揭示了丰富多样的新奇物态，包括离散时间晶体、拓扑泵浦、光子时间晶体以及Floquet拓扑态等。尤其值得关注的是，近期理论上提出了具有(d+1)维空时平移对称性的空时晶体。这一体系与传统Floquet-Bloch系统显著不同，后者的时间和空间平移对称性是解耦的，而空时晶体则拥有不可分离的空时平移对称性。进一步的研究表明，在(1+1)维和(2+1)维空时晶体中具有由和拓扑不变量刻画的拓扑空时晶体物态。这一发现为拓扑物态的研究开辟了全新的视角。然而，由于拓扑空时晶体需要对空间和时间自由度进行全面而精准的调控，这使得在现有的量子和经典平台上实验实现面临巨大挑战。
拓扑电路作为研究拓扑物理的新型实验平台，展现出传统量子材料和经典人工结构(如光学、声学、力学、热学等)所不具备的独特优势。首先，经典电路可以实现与空间维度和节点距离无关的非局域耦合，这为高维拓扑晶格结构、非欧几里得拓扑态以及具有非阿贝尔耦合特性的拓扑态实验研究提供了理想平台。此外，经典电路拥有丰富多样的有源和无源元件，包括不同规格的电容、电感、电阻、运算放大器、乘法器、忆阻器和二极管等，使得探索传统材料难以实现的拓扑物理特性(如非互易耦合、多种非线性效应以及增益/损耗特性)成为可能。同时，低频拓扑电路的设计理念还能够直接推广到集成电路芯片的设计，为开发具有特殊功能的新型电路芯片提供了重要思路。拓扑空时电路凭借其独特的空时拓扑特性和动态调控能力，在无线电通信、超敏传感和信息数据处理等领域具有潜在的应用前景。然而，如何实现对电路网络中时间和空间自由度的协同调控，以构造出具有空时平移对称性的新型拓扑电路，仍是亟待解决的关键科学问题。
研究亮点一：(1+1)维拓扑空时电路的构建和拓扑空时边界态的实验观测。
研究人员首先对具有(1+1)维空时平移对称性的晶格模型进行了系统研究，其哈密顿量形式为，满足空时平移对称性和。基于空时平移对称性，研究人员借助广义Floquet-Bloch定理对准动量空间中系统的Floquet哈密顿量进行了对称性分析。该系统具备广义粒子-空穴对称性，可以实现由拓扑不变量表征的拓扑边界态。图1a展示了系统在开边界条件下的准能谱分布，其中颜色表示对应本征态的边界局域强度。可以清晰看到在ε = ±0.5Ω附近存在边界态(图1b)。图1c进一步展现了系统准能谱kδ的变化。结果显示，拓扑空时边界态在kδ ∈ [0.59π,1.41π]的范围内出现，表明空时拓扑相变发生在kδ = 0.59π和1.41π处。需要指出的是，该(1+1)维拓扑空时晶体的紧束缚晶格模型仅包含一个轨道(一个子格)，这不同于静态和Floquet对应模型中常见的两轨道最小拓扑模型。这种单轨道特性来源于频率域扩展空时哈密顿量的独特能带结构。具体来说，在不同的Floquet扇区之间的对角能带不仅表现出能量偏移，还在动量上呈现kδ的整数倍差异。因此，相邻Floquet扇区中同一轨道的对角能带在特定动量点处可以相交。当这些能带通过时间调制耦合时，拓扑能隙便可打开。在传统Floquet–Bloch系统中，要打开拓扑能隙至少需要两轨道模型。拓扑空时晶体的单轨道性质可推广至(d+1)维拓扑空时晶体。
进一步，研究人员设计并制备了(1+1)维拓扑空时电路，实现了对上述拓扑边界态的实验观测。为了实现电路耦合的空时调制，他们设计了一种由外加信号控制的时变非互易电阻(图1d)。通过调节不同电路节点之间控制信号的相位和频率，可以构造出具有(1+1)维空时平移对称性的电路网络(图1e)。实验样品的实物照片及细节放大图显示在图1f中。研究人员测量了电路网络的电压动力学，并将其与理论仿真结果进行了对比(图1g-h)。测量结果与仿真高度一致，傅里叶变换得到的频谱在133.5Hz处显示出拓扑边界态的特征频率(图1i)。当频率为133.5Hz时，傅里叶变换下的电压分布呈现出强烈的边界局域性(图1k)；相比之下，体态频率267Hz下的电压分布则表现为空间扩展分布(图1j)。这些结果清晰地证明，通过拓扑空时电路成功实现了(1+1)维拓扑空时边界态。
图1. (1+1)维拓扑空时电路的理论和实验结果。
研究亮点二：基于(2+1)维拓扑空时电路实现手性拓扑边界态的实验观测
进一步，研究人员考虑(2+1)维拓扑空时晶体，其哈密顿量为，满足空时平移对称性和。类似于(1+1)维空时晶体，(2+1)维空时晶体也可以用准动量空间中的Floquet哈密顿量来描述。分析发现，ε = ±0.5Ω附近的低能量有效哈密顿量没有时间反演、粒子空穴和手征对称性，可以用拓扑不变量来表征。图2a展示了系统在开边界条件下的准能谱分布，其中颜色表示对应本征态的边界局域强度。可以清晰看到，ε = ±0.5Ω附近存在拓扑空时边界态(图2c)。需要强调的是，ε = 0.5Ω和-0.5Ω附近的拓扑边界态是由不同能量扇区单轨道Floquet能带耦合得到，相邻能量区间的拓扑空时边界态色散满足ε → ε+Ω和kx → kx + kδx(图2b)。图2d进一步展现了(2+1)维拓扑空时晶体的相图,拓扑相变发生在kδx和kδy的绝对值接近π的区域。
最后，研究人员设计并制备了(2+1)维拓扑空时电路(图2e-2f)，实现了对上述拓扑边界态的实验观测。图2g-2j显示了不同时刻的电压空间分布。可以看到初始电压沿电路边界单向传播，展现了(2+1)维拓扑空时边界态的手性行为。
图2. (2+1)维拓扑空时电路的理论和实验结果。
研究亮点三：(3+1)维Weyl空时半金属及拓扑空时电路实现。
研究人员对哈密顿量形式为的(3+1)维拓扑空时晶体进行了系统性研究。Jz是沿z轴的常数耦合，沿x和y轴的时变耦合为和，满足离散空时平移对称性。与(1+1)和(2+1)维拓扑空时晶体类似，(3+1)维空时晶体也可以用 Floquet哈密顿量H(kx, ky, kz)来描述。当时变耦合较弱时，ε = -0.5Ω附近的低能有效哈密顿量与传统系统的Weyl哈密顿量具有相同的形式。因此，可以通过调节系统参数，实现空时Weyl点。图3a展示了Floquet哈密顿量的准能带结构，可以看到空时Weyl点出现在ε = -0.42Ω和ε = -0.58Ω处。值得注意的是，Weyl点出现的位置与低能有效哈密顿量预测值基本匹配，只有kz值由于其他能带的存在略有偏差。此外，不同Floquet扇区中的空时Weyl点具有空时平移对称性ε → ε+Ω和。空时Weyl点的存在还可以在开边界结构中诱导表面状态出现(图3c)。这些表面态可以形成Fermi-arc,如图3d所示。图3e展示了开边界条件下，(3+1)维拓扑空时晶体的准特能谱。图3f-3g绘制了ε = -0.497Ω的Weyl表面态和ε = -0.41Ω的体态的空间分布。最后，研究人员设计并制备了(3+1)维拓扑空时电路(图3h-i)，实现了对上述空时Weyl表面态的实验观测（图3j-3m）。
图3. (3+1)维拓扑空时电路的理论和实验结果。
该工作首次提出拓扑空时电路的概念，并实现了对(1+1)维、(2+1)维和(3+1)维拓扑空时物态的实验观测。与传统Floquet-Bloch拓扑系统不同，空时平移对称性使拓扑空时晶体具有单轨道特性。该工作为未来探索更加复杂的拓扑空时效应奠定了实验基础。另外，低频拓扑空时电路的设计方法可以扩展到CMOS芯片领域，为设计新型拓扑空时电路芯片提供了重要参考。
文章来源：北京理工大学
