近日， 历史悠久的著名综合性学术杂志Proceedings of National Academy of Sciences of the United States of America（PNAS, 美国科学院院刊）发表了金石和Nana Liu教授在重要的非线性偏微分方程Hamilton-Jacobi 方程粘性解量子算法的工作。 他们是上海交通大学自然科学研究院/数学科学学院/浦江国际学院的教授。
研究背景
量子计算根据量子力学原理设计，天然适合求解量子力学基本方程--薛定谔方程--类型的偏微分方程， 薛定谔方程有两个基本特征：线性和酉算子演化。他们在2022年提出的简洁普适的“薛定谔化”方法，在高一维空间将所有的线性常微分和偏微分方程转化为薛定谔类型的偏微分方程，系统地解决了广泛的非酉演化的问题。然而非线性偏微分方程依然是量子计算最困难的瓶颈之一。现有的线性截断方法（如Carleman 截断方法）仅适用于弱非线性和强耗散问题。 而科学与工程计算中大多数非线性偏微分方程，如流体力学方程、反应扩散方程、Hamilton-Jacobi 方程、动理学方程等均是相反情形：强非线性与弱耗散。对这些具有广泛应用价值的非线性偏微分方程构造具有量子优势的量子算法，具有重大的科学和应用价值。
研究内容
Hamilton-Jacobi 方程是最重要的非线性偏微分方程之一， 可应用于几何光学、量子动力学、高频波计算、地震波模拟、最优控制、界面和相变模拟、机器学习等领域，在金融、经济、材料科学、地震预报、图像处理、机器学习领域具有广泛的应用前景。该方程在许多应用领域（如金融，机器学习等）具有高维的特征，给经典计算带来极大困难。 然而该方程的量子计算不仅遇到前述两个瓶颈--非线性和非酉演化—还有更大的数学挑战：解的奇异性（对应于几何光学和量子输运中的焦散—caustics）。即使初始是光滑的，在有限时间内解的导数也会变得不连续，因此需要引进弱解，而弱解通常是不唯一的. 上世纪80年代Crandall 和Lions 引入了粘性解(viscosity solution)的概念，解决了解的唯一性问题。该项工作是法国著名数学家P.L. Lions 90 年代获得菲尔兹奖的两项工作之一。
在他们2024年发表于法国历史悠久的数学杂志Bulletin des Sciences Mathematiques 的论文中，他们利用水平集方法在高维将Hamilton-Jacobi方程等价地转化为线性刘维尔（Liouville equation）方程, 从而适合量子模拟。这个变换是等价变换，不需要任何截断，因此对强非线性方程长时间有效。他们也证明了该方法在获得物理观测量上具有量子优势。该方法给出的是焦散之后方程的“多值解”，在几何光学、量子动力学、高频波计算、地震波模拟等问题是物理上的正确解。但是如果需要获得粘性解-如金融问题的最优控制，材料科学里的界面和相变模拟等问题——该方法不适用。
在他们最新发表的PNAS论文中，他们基于Gomes-Valdinoci 的熵惩罚方法，首次构造了求解Hamilton-Jacobi粘性解的量子算法。如果哈密顿量是动量的二次函数的话，人们可以用经典的Cole-Hopf 变换将粘性Hamilton-Jacobi 方程变为线性热方程，再结合薛定谔化方法，便可以进行量子模拟了。如果哈密顿量对于动量的依赖是更一般的凸函数，Cole-Hopf 方法不适用，而Gomes-Valdinoci 的熵惩罚方法，在时间离散时通过Cole-Hopf 变换，得到了线性演化方程。通过人工粘性法，熵惩罚法和薛定谔化的结合，金石和Nana Liu 提出了高效的求解粘性解的量子算法，给出了长时间有效的误差估计，并证明了在一些重要的物理观测量的计算中获得了多项式量级的量子优势。 该方法是量子算法在具有重要应用价值的强非线性和弱耗散偏微分方程的重要进展，在金融和经济领域的最优控制和平均场博弈、材料和图像界面的模拟，以及机器学习领域具有广泛的应用价值。
他们在Hamilton-Jacobi 方程构造的两个量子算法(水平集方法和熵惩罚方法)，是仅有的对强非线性并具有奇异物理解的偏微分方程的长时间有效并具有量子优势的算法，是量子计算求解非线性偏微分方程的重要突破。
团队工作获得了国家自然科学基金委、上海市科委基础研究先行区、重庆市科技局和上海交通大学2030计划重大基础研究类项目的支持。
